A partir de la secuencia que desarrollaremos a continuación se pretende sistematizar y ampliar el campo de los conocimientos que tienen los niños
para calcular.  Entendemos que el cálculo mental se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego, los conocimientos del sujeto que las despliega o las preferencias al momento de optar por uno u otro cálculo.
A la hora de pensar en el cálculo mental nos remitimos, por un lado, a aquellos cálculos que son memorizados, es decir que forman parte del r repertorio de cálculo y que puede recurrirse a ellos en cualquier momento; por otro lado, los cálculos que son pensados, es decir, aquellos que responden a situaciones en las que es necesario desplegar diferentes caminos para llegar a la resolución. Es así que el trabajo didáctico sobre este tipo de cálculo debe ser nutrido a través de múltiples situaciones, que permitan ampliar ese entramado que sostiene las estrategias que llevan adelante los niños una vez que se encuentran ante un problema.
Al estar estrechamente vinculado con los significados de las operaciones, si se lo presenta aislado es imposible que el alumno pueda establecer los
vínculos pertinentes y tomar las decisiones necesarias Secuencia en operaciones: cálculo mental para ejecutarlo. En este sentido, el tipo de números y
el orden de magnitud de los mismos son importantes variables didácticas a tener en cuenta a la hora de trabajar en cálculo, ya que su modificación puede generar cambios en los procedimientos de resolución que los niños puedan desarrollar. Así, definir una variable en uno u otro sentido genera, como consecuencia, cambios en los conocimientos que se requiere poner en marcha para la resolución del problema planteado. Por tanto, es posible hacer que los conocimientos que son eficaces para los alumnos dejen de serlo, y se sientan en la necesidad de apropiarse de nuevas estrategias.
El procedimiento de cálculo también se rige por propiedades ligadas a las reglas del sistema posicional, decimal y a las propiedades de la operación
en sí.

Entendemos que, tal vez, la secuencia de enseñanza de un contenido escolar podría ser el puente entre lo que se les pretende enseñar a los estudiantes magisteriales y el quehacer en el aula. La importancia radica en que los estudiantes comprendan «los contenidos de los ejes de la formación».

A la hora de pensar qué enseñamos cuando enseñamos Geometría, debemos realizar un análisis de las prácticas docentes. Entender que las actividades de Geometría deben ir más allá de las definiciones y descripciones de figuras, implica orientar las acciones pedagógicas para que los estudiantes logren desarrollar habilidades de análisis de las características y propiedades de las figuras geométricas.

En este sentido es necesario promover la elaboración de argumentos, modelizaciones, potenciar el razonamiento espacial y establecer relaciones intra
e interfigurales. Saber Geometría «implica inferir a partir de datos y con el apoyo de las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación» (Itzcovich, 2005:12).

Nuestro interés surge a partir de querer abordar verdaderos problemas geométricos en la escuela, que les permitan a los alumnos construir conocimiento geométrico. Es necesario remarcar la diferencia entre la clásica denominación de figuras y sus respectivas propiedades, y establecer problemas que conduzcan a la construcción de una conjetura que intenta vincular características similares de los puntos pertenecientes a las figuras. En este sentido, el docente se ubica como mediador y facilitador en la elaboración de las conjeturas de los alumnos y sus correspondientes explicaciones, para luego poder llegar a una generalización y posterior institucionalización del conocimiento.

En atención a esta inquietud consideramos que el abordaje de los conceptos geométricos desde la mirada del lugar geométrico es una estrategia de enseñanza que permite el desarrollo de estas competencias (conjeturar, explicar, generalizar).

En consonancia con el pensamiento de Itzcovich (2005), nuestro interés será el planteo de las construcciones en Geometría como actividades adecuadas para promover la exploración que permita conjeturar propiedades, diferenciándolo de los procedimientos mecánicos, de las clásicas construcciones como “final de proceso”.

En el programa escolar vigente se «propone un enfoque didáctico que enfatice la construcción de significados a través de la problematización del
conocimiento geométrico» (ANEP. CEP, 2009:66). En este artículo haremos hincapié en los procesos de construcción del aprendizaje desarrollado por los niños a partir de los aportes de la exploración, de la construcción de la figura de análisis, de la argumentación y la validación.

En el año del mundial de fútbol, con motivo de la conversación mantenida con un futbolista acerca de su preparación física, algunos niños empezaron a
preguntarse sobre ciertos dichos del profesional, en particular: ¿qué es la energía?, ¿y la temperatura? 

Si consideramos que los niños «a partir del lenguaje y las experiencias de la vida cotidiana (...) hacen descripciones y dan explicaciones» (Dibarboure
y Rodríguez, 2013:8), era necesario comenzar por aquellas que pudieran “encender” otras experiencias en vínculo directo con la construcción de
ideas científicas escolares. Por este motivo se les solicitó que cada uno escribiera un enunciado que expresara cuándo y dónde usaba la palabra “energía”, y otro enunciado que diera cuenta de dónde o cuándo usaba el término “temperatura”. Se buscaba visibilizar sus miradas.

Generalmente, la energía se suele tratar como un tema que pertenece a sexto grado. Sin embargo, en las actividades realizadas se permite apreciar que es preciso “romper” con esa idea para poder abordarla en todo  el ciclo escolar, con la profundidad necesaria, a fin de ir posibilitando que desde edades tempranas, los niños incorporen los rasgos distintivos del término, sus propiedades.
Si bien no es un camino fácil de transitar, puesto que es difícil deconstruir algo que está instaurado y muy aferrado como una cuestión común, es posible siempre y cuando los docentes nos atrevamos a pensar, diseñar, repensar, volver a diseñar propuestas que aborden la temática más allá del grado escolar.

Los muy diversos campos de fenómenos que percibimos en el mundo que nos rodea (relacionados, por ejemplo, con movimiento, oscilaciones, calor, electricidad, magnetismo, radiactividad, propiedades materiales, reacciones químicas, vida, metabolismo, salud, orogenia, sismos, clima, fósiles, luz solar, cometas) son estudiados desde diferentes perspectivas teóricas por las diversas ciencias naturales (Astronomía, Física, Química, Biología, Geología, etc.). Sin embargo, todos ellos pueden ser pensados unificadamente en términos de la energía involucrada, que pasa así a ser un concepto teórico potente para comprender esos fenómenos e intervenir sobre ellos. En este sentido, la energía se constituye en un concepto científico central y estructurador por su gran generalidad, abstracción y potencia para modelizar. Por tanto, a partir de la investigación e innovación en didáctica de las ciencias naturales sugerimos que los niños y niñas puedan iniciarse en el estudio de este concepto muy tempranamente, tal como se propone en los cuatro artículos que siguen.

En las distintas actividades didácticas que se incluyen en los artículos de las próximas páginas, se presentan diferentes situaciones del entorno cotidiano y se les pide a los niños y niñas que las describan. Para ello son guiados por los docentes, de modo que puedan comenzar a utilizar de manera adecuada expresiones científicas tales como “posee energía”, “requiere energía”, “usa energía”, “gasta energía”, “aporta energía”, “produce energía”, “almacena energía”, “consume energía”, “transfiere energía”, “disipa energía”, “no aprovecha energía”. En estas frases, que son también empleadas en el lenguaje natural y en el mundo de la técnica, nos referimos a la energía desde una concepción “sustancialista”, asociada a los orígenes históricos de esta idea científica (en los siglos XVIII y XIX). Las expresiones que utilizamos en la ciencia escolar modelizan la energía casi como una entidad material, como un “objeto” (a veces imaginado como un “fluido” que pasa de un cuerpo a otro o queda almacenado en ellos). Se puede decir que en los primeros usos de la idea de energía, necesariamente estamos “sustancializándola” un poco, es decir, otorgándole las características y propiedades de una entidad real y tangible.

Con referencia a la Geometría en el marco del programa escolar vigente: «Se propone un enfoque didáctico que enfatice la construcción de significados a través de la problematización del conocimiento geométrico» (ANEP. CEP, 2009:66). Es en este sentido que se focaliza en un tipo de
actividades, las construcciones, para explorar, elaborar conjeturas, extraer conclusiones y favorecer el desarrollo de relaciones con las propiedades de los objetos geométricos estudiados.
También será necesario, a lo largo del ciclo escolar, introducir otro tipo de actividades que exijan nuevos modos de hacer por parte del alumno. Así,
las actividades de reproducir y reconocer, las que favorecen la identificación de propiedades, las de descripción, las que ponen el foco en la explicación y
en la fundamentación con ideas matemáticas serán otras puertas de entrada a la conceptualización de estos entes ideales que se constituyen en el objeto de estudio de la Geometría.
Es justamente esta característica de la disciplina la que exige la coordinación y la interacción entre los distintos registros de representación semiótica.

De acuerdo a lo explicitado por Agrasar y Chemello (2016), la secuencia como organizador didáctico debe habilitar al alumno al establecimiento de una red de relaciones en torno a un contenido matemático, en nuestro caso, geométrico. Las autoras plantean que el diseño de secuencias con unidad de sentido implica un conjunto de problemas que se vinculan con relación a la enseñanza de un contenido. Para ello es necesario pensar
en un propósito que oriente la elección y vaya conectando las actividades en un recorrido que pueda ser claramente especificado en términos de
lo enseñado y lo aprendido.

Este artículo se inicia con una secuencia de actividades para cuarto grado, analizando posibles procedimientos, incluyendo intervenciones docentes en la puesta en común y posibles cierres. 
Los avances explicitados entre una actividad y otra favorecen, en los alumnos, el establecimiento de relaciones en torno al concepto de proporcionalidad, les permiten analizar las propiedades que la caracterizan y las diferentes formas de representación. 
Luego se sugieren algunas actividades posibles para quinto y sexto grado, o modificaciones a las actividades planteadas para cuarto grado.

Desde la enseñanza es necesario considerar los tiempos de aprendizaje de los alumnos y la importancia de que ellos siempre puedan volver atrás
para establecer relaciones con lo aprendido anteriormente. El volver atrás no significa “hacer más de lo mismo”, sino una revisita pero desde otros lugares que permitan enriquecer la construcción de un concepto. 
Es en ese sentido que vemos la necesidad de planificar diversas secuencias que permitan reinvertir, ganar complejidad, avanzar. En este artículo
presentamos una secuencia para trabajar la relación de proporcionalidad directa y algunas de sus propiedades.
Si bien está pensada para un segundo grado, hay actividades que pueden ser propuestas en primer o en tercer grado adaptando algunas variables
como las magnitudes, el conjunto numérico, el orden de magnitud de números, entre otras. En particular nos interesa dejar en evidencia la estructura de cada problema, qué habilita y bloquea cada uno de ellos, y los avances que genera cada modificación que se hace. El avance en el aprendizaje no está dado por enfrentarse a problemas con números mayores, sino a problemas que permitan acceder al objeto matemático desde otra perspectiva.

En esta ocasión iniciamos la secuencia con un problema en un contexto cotidiano, que comúnmente se presenta en segundo grado con el propósito
de enseñar la multiplicación y desconociendo que es un problema de proporcionalidad. Nos proponemos recuperar el concepto de proporcionalidad transformándolo en un eje que atraviesa la escolaridad.
La secuencia está dividida en tres partes, y en cada una de ellas hay diversos problemas. 

A continuación presentamos cuatro artículos que abordan la enseñanza de un contenido matemático escolar: La proporcionalidad (directa). Un primer artículo rescata el valor de la proporcionalidad y analiza su presencia en las prácticas de enseñanza. Identifica dos grandes problemas: el desdibujamiento de la proporcionalidad como un eje matemático y la falta de articulación de todos los aspectos vinculados a la proporcionalidad.
El segundo y el tercer artículo presentan secuencias de enseñanza para el abordaje de la proporcionalidad directa en los dos ciclos escolares.
Para el primer ciclo se presenta una secuencia para trabajar relaciones de proporcionalidad y algunas de sus propiedades. Si bien la secuencia está pensada para segundo grado, hay actividades que se pueden adecuar al trabajo en primer o tercer grado. La secuencia se divide en tres partes con distintos propósitos e integra problemas correspondientes a contextos diferentes: cotidiano y matemático. En el análisis de cada problema se señalan las diferencias con el anterior, con una mirada de avance.
Para el segundo ciclo se presenta una secuencia para trabajar en cuarto grado el concepto de proporcionalidad, sus propiedades y las diferentes formas de representación. Se analizan posibles procedimientos de resolución, intervenciones docentes, formas de representación, etcétera. La secuencia está pensada para cuarto grado, pero se presentan y analizan algunas variantes de las actividades para el trabajo con alumnos de quinto o sexto grado escolar. El último artículo se centra en la enseñanza de este contenido matemático desde la doble agenda del maestro adscriptor. Analiza el abordaje en el plano de los alumnos escolares y en el de los estudiantes magisteriales.

A través de este artículo se propone compartir la experiencia de Formación en Territorio en una escuela de Montes, Canelones. En este trayecto

pretendimos reflexionar con la maestra de segundo grado acerca de la enseñanza de la Geometría «por su valor como construcción cultural y por las características de los “modos de hacer y de pensar”» (Rodríguez Rava y Xavier de Mello, 2016:9). También nos interesa presentar una mirada diferente con relación a las prácticas usuales en la enseñanza de la Geometría, transitando hacia una geometría dinámica, exploratoria, basada en relaciones. 

Según Sadovsky et al. (1998:10), al comienzo del ciclo escolar, en los primeros encuentros de los alumnos con las figuras del plano y del espacio,
estas son tratadas fundamentalmente como dibujos, y el trabajo con ellas se apoya esencialmente en la percepción. Si bien en el primer ciclo algunas
actividades pueden ser validadas empíricamente, a medida que se avanza en la escolaridad a través del trabajo con la descripción se podrán empezar a construir algunas relaciones con base en las propiedades de las figuras. Asimismo, los alumnos podrán ir incorporando vocabulario que ayudará a las tareas de comunicación, con la finalidad de caracterizar mejor las figuras estudiadas.

Para que los alumnos puedan profundizar su conocimiento geométrico, será necesario que este se elabore a partir de la resolución de problemas que
los niños enfrenten.

El presente artículo fue realizado con el acompañamiento de la maestra Ana Laura Lujambio.