En este artículo pretendemos recuperar el valor de la proporcionalidad como un eje matemático que atraviesa la escolaridad. Analizamos su presencia
en distintas prácticas de enseñanza, a través de lo que establecen algunos documentos curriculares y de actividades de enseñanza.
Identificamos los distintos aspectos constitutivos del concepto y estudiamos cuestiones que deben ser tenidas en cuenta en el abordaje de la proporcionalidad directa en el ciclo escolar.

A través de este artículo se propone compartir la experiencia de Formación en Territorio en una escuela de Montes, Canelones. En este trayecto

pretendimos reflexionar con la maestra de segundo grado acerca de la enseñanza de la Geometría «por su valor como construcción cultural y por las características de los “modos de hacer y de pensar”» (Rodríguez Rava y Xavier de Mello, 2016:9). También nos interesa presentar una mirada diferente con relación a las prácticas usuales en la enseñanza de la Geometría, transitando hacia una geometría dinámica, exploratoria, basada en relaciones. 

Según Sadovsky et al. (1998:10), al comienzo del ciclo escolar, en los primeros encuentros de los alumnos con las figuras del plano y del espacio,
estas son tratadas fundamentalmente como dibujos, y el trabajo con ellas se apoya esencialmente en la percepción. Si bien en el primer ciclo algunas
actividades pueden ser validadas empíricamente, a medida que se avanza en la escolaridad a través del trabajo con la descripción se podrán empezar a construir algunas relaciones con base en las propiedades de las figuras. Asimismo, los alumnos podrán ir incorporando vocabulario que ayudará a las tareas de comunicación, con la finalidad de caracterizar mejor las figuras estudiadas.

Para que los alumnos puedan profundizar su conocimiento geométrico, será necesario que este se elabore a partir de la resolución de problemas que
los niños enfrenten.

El presente artículo fue realizado con el acompañamiento de la maestra Ana Laura Lujambio.

Bastante se ha dicho respecto al trabajo con las concepciones de los alumnos, y a la necesidad de conocerlas para que el docente las pueda hacer
avanzar. En este sentido, en las producciones de los alumnos se ponen de manifiesto estas concepciones y permiten a los maestros conocer el estado
de saber de sus alumnos. Es necesario entonces que los maestros analicen las producciones de sus alumnos para conocer lo que saben, ya que estos
conocimientos constituyen un punto de partida para que ellos puedan construir conocimientos.
Cuando resuelven una situación, los alumnos elaboran respuestas ya sean orales o escritas. Estas producciones son una muestra de su “estado de
saber”, lo cual permite evaluar el nivel de conceptualización de los alumnos con respecto al objeto matemático involucrado.
En este artículo analizaremos las producciones de algunos alumnos de quinto y sexto grado frente a la siguiente pregunta sobre el sistema de numeración, específicamente sobre el valor posicional: ¿Cuántas decenas tiene el número 15324? 
Esta actividad forma parte de una tarea correspondiente al Curso para Maestros de Escuelas Comunes de PAEPU del año 2013, y las respuestas que analizamos así como los registros de entrevistas realizadas a alumnos, que incluimos en este artículo, han sido recogidas por maestros de Montevideo que realizaron el curso, a quienes agradecemos. En el artículo no analizaremos qué prácticas de enseñanza podrían dar lugar a los conocimientos que evidencian los alumnos.

La planificación de todo curso o taller exige la integración de un programa de evaluación que debe ser consistente con el proyecto de enseñanza
y de aprendizaje planificado. Un programa de evaluación debería incluir diversos instrumentos de evaluación, a los efectos de recoger la mayor
y mejor cantidad de información con respecto a los aprendizajes y también con respecto a la enseñanza. Esto permite enriquecer el trabajo de los estudiantes y del docente. 

La evaluación como herramienta de conocimiento exige seleccionar momentos clave a lo largo de los cursos y talleres para poder llevarla a cabo. También se convierte en una buena ocasión de generar instancias innovadoras, al igual que en la enseñanza, para que el estudiante magisterial reproduzca información, o la analice, resuelva problemas utilizando caminos alternativos, confronte posiciones, organice e integre ideas, etcétera.
En el marco de la formación inicial de maestros, y de los cursos y talleres que hemos tenido bajo nuestra responsabilidad –Didáctica/Taller de Matemática (Plan 1992); Matemática y su enseñanza I y II (Plan 2005); Taller de Profundización Teórica y Apoyo a la Práctica Docente en Matemática (Plan 2008)– hemos diseñado y empleado diferentes instrumentos a lo largo de varios años: convencionales y alternativos, algunos administrados en forma individual y otros colectivamente.

Entre los instrumentos convencionales hemos incluido la observación, algunos instrumentos subjetivos escritos de respuesta extensa o de ensayo,
y de respuesta restringida; y otros subjetivos orales, por ejemplo, la exposición y el diálogo. En el programa de evaluación también integramos
instrumentos objetivos del tipo ejercicio de interpretación, que permiten evaluar aprendizajes complejos así como otras pruebas objetivas.
Los instrumentos alternativos que seleccionamos son representativos de acciones, de productos y de procedimientos: debate, póster, cuaderno de
dudas, análisis de producciones de niños y de intervenciones docentes, panel, etcétera.
Con la inclusión de una variedad de instrumentos pretendemos que cada momento de evaluación nos dé la posibilidad de conocer, comprender, construir conocimiento, reflexionar y juzgar.
En el artículo se presentan diversos instrumentos, construidos en los distintos años en que llevamos adelante los cursos y talleres mencionados
anteriormente, y los acompañamos de reflexiones realizadas en su momento o en el momento actual.

Las diversas complejidades que plantea la práctica han requerido algo más que la aplicación mecánica de la teoría. Ha sido necesario reconocer y evaluar la compleja situación a la que nos enfrentamos, entendiéndola como una situación problemática. Es decir, los problemas planteados por la práctica son singulares y requieren de acciones para resolverlos, de reflexiones sobre la misma y del conocimiento generado a partir de esa reflexión. Orozco-Hormaza (2003) plantea que esa reflexión docente es fundamental para la formación de los estudiantes en la práctica, ya que requiere, en primer lugar, la creación de situaciones novedosas que rompan con lo “habitual” y, en segundo lugar, la utilización de técnicas innovadoras para
la comunicación, la participación y la reflexión. Entonces, para que la reflexión coopere en la transformación de los “gajes” del oficio del rol del maestro adscriptor, no puede ser espontánea o esporádica. Debe ser, en cambio, intencional y planificada y, por sobre todas las cosas, debe ser crítica. En tal sentido: «Para Kemmis (1987), reflexionar críticamente significa colocarse en el contexto de una acción, en la historia de la situación, participar en una actividad social y tomar postura ante los problemas» (apud Contreras, 2001:121). 

Ahora, la cuestión está en cómo llegar a un un auténtico proceso reflexivo. Al respecto, Smyth (idem) plantea que es necesario propiciar una mayor capacidad de cuestionamiento y seguir una lógica de concienciación progresiva. Es decir, reflexionar sobre la práctica significa ir desde la descripci ón hacia la búsqueda de las teorías implícitas en el quehacer diario, y luego de confrontar lo que se hace y sus causas, reflexionar sobre ellas, intervenirlas y mejorarlas; «reconstruir el sentido político que hemos aprendido a aceptar respecto a la función de la enseñanza, y configurar un nuevo significado para ésta...» (ibid., p. 126). En una escuela de práctica, esta complejidad se redobla al tener que habitar un espacio con un otro (maestro practicante) al que debemos acompañar, y que llega a la clase a abrir las puertas, dejando nuestras prácticas “al desnudo”. Pues en este intercambio, todo cuanto hay de mecánico y automático en el quehacer del día a día, y que generalmente se esfuerza por permanecer oculto, lejos del análisis, queda inmediatamente al descubierto, a la luz  de la interpelación.

¿Cómo planificar una secuencia de Matemática estructurada progresivamente de manera tal que una actividad complemente y amplíe la actividad anterior y considere la evaluación para continuar avanzando?
En esta oportunidad analizaremos una secuencia de división en Segundo grado, en la cual las maestras realizan un recorte para el abordaje de los diferentes significados de las operaciones en el campo multiplicativo: proporcionalidad (reparto o de agrupamiento), de producto escalar (dobles y mitades) y de producto de medidas (organizaciones rectangulares).

El estudio de las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos es, según Itzcovich et al. (2008:169), uno de los grandes objetivos de la enseñanza de la Geometría en la escuela primaria. Según los autores, este estudio de las propiedades «implica mucho más que reconocerlos  perceptivamente y saber sus nombres» y requiere de la resolución de problemas geométricos de diferente tipo, que les permitan a los alumnos distintos acercamientos a las figuras y sus propiedades.
En este artículo centraremos la atención en un tipo particular de problema geométrico: los juegos de adivinación. 

Lo que se explicita a continuación tiene su origen en un proyecto de enseñanza desarrollado para la construcción de una maqueta, en la cual se evidenciaran las formas geométricas visibles en la ciudad. Este proyecto, implementado en un grupo multigrado desde Inicial Cinco años a Sexto grado, integró secuencias desde lo lógico matemático y secuencias desde el lenguaje de programación.
El desafío docente de la secuencia fue que los alumnos conceptualizaran la noción de cuerpos geométricos, buscando su construcción por medio del uso de la actividad “TortugArte” que ofrece la XO.

La Probabilidad es una rama de la Matemática y se relaciona en forma estrecha con el campo de la Estadística que es, en cierta medida, su ala aplicada.
Surge con el estudio de los juegos de azar y, tal como lo plantea Bressan (2003), uno de los objetivos de la Probabilidad es evaluar las posibilidades de que un suceso se lleve a cabo o no. De esta manera, el cálculo de probabilidades habilita la toma de decisiones disminuyendo parcialmente la incertidumbre, transformándose, si se quiere, en una medida de esta.
En muchas ocasiones nos enfrentamos a situaciones no deterministas, y su análisis posibilita, entonces, el desarrollo de un pensamiento aleatorio donde
cuantificar la posible ocurrencia de un determinado suceso se vuelve importante. El desarrollo de un pensamiento que pueda dar medidas probabilísticas ajustadas, aun en situaciones relativamente sencillas, no es común, no se construye de manera natural. La mayor parte de la Matemática que estudiamos en Educación Primaria y en Educación Secundaria tiene una larga tradición en la Historia de la Humanidad; sin embargo, la Probabilidad tiene su formulación, como cuerpo de conocimientos ordenados, a principios del siglo pasado. No ha resultado sencillo “domesticar” el azar. Con más razón, para entender su funcionamiento es necesaria la inclusión sistemática, y con clara intencionalidad didáctica, de situaciones que pongan en juego el azar.

Denominamos así al abordaje de la Geometría del Espacio a través de los recursos de Realidad Aumentada existentes y a disposición de la enseñanza.
«Artistas, constructores, arquitectos, ingenieros, diseñadores de todas las culturas y épocas han tratado con el problema de la representación
de formas tridimensionales en superficies bidimensionales e, inversamente, el reconocimiento de la forma tridimensional a partir de la
bidimensional (Senechal, 2008).» (apud Grossi y Sgreccia, 2015)
Los recursos de Realidad Aumentada vienen a salvar este problema; nos permiten visualizar –a través de marcadores creados a tal fin– las figuras 3D
en el espacio, nos permiten moverlas, ver las caras ocultas, girarlas, descubrir sus propiedades, etcétera.
De esta manera, los niños se asombran, se divierten, juegan, “manipulan” a través de un recurso que, mediante la intervención didáctica del docente, 
permite problematizar el contenido matemático que se desea enseñar.